研究部門の業績

コンピュータ実験科学研究部門
Computer Assisted Science Division


１．部門スタッフ

教授　小田中紳二
略歴：1978年3月京都大学工学部数理工学科卒業、1980年3月京都大学大学院工学研究科博士前期課程数理工学専攻修了。同年4月松下電器産業株式会社入社、同半導体研究センターを経て、1997年4月松下電子工業株式会社プロセス開発センター室長、2000年4月より、大阪大学サイバーメディアセンターコンピュータ実験科学研究部門教授。大阪大学大学院情報科学研究科、理学研究科兼任。IEEE(Senior member)、電子情報通信学会、応用物理学会各会員。工学博士（京都大学）

助教授　降旗大介
略歴：1990年3月東京大学工学部物理工学科卒
業、1992年3月東京大学大学院工学系研究科物理工学専攻修士課程修了。同年4月東京大学工学部物理工学科助手を経て、1997年4月より京都大学数理解析研究所助手、2001年4月より大阪大学サイバーメディアセンターコンピュータ実験科学研究部門講師。2002年4月より同部門助教授。大阪大学大学院情報科学研究科、理学研究科兼任。日本数学会、日本応用数理学会各会員。

２．教育および教育支援業績

本年度の主な活動は以下の通りである。
  1. 共通教育科目
    線形代数学B-I（理学部、小田中）
    線形代数学 A-II(工学部、降旗)
    情報活用基礎 (理学部、降旗)
  2. 理学部専門科目
    実験数学5（数学科、小田中）
    応用数理学7 (数学科、降旗)
    数学研究b (数学科、降旗)
  3. 大学院理学研究科科目
    実験数学概論II（数学専攻、小田中）
    応用数理学特論I (数学専攻、 降旗)
  4. 大学院情報科学研究科科目
    計算数学続論（情報基礎数学専攻、小田中）
    計算数学要論 (情報基礎数学専攻、降旗)

３．研究概要

　地球環境、情報、生命、ナノテクノロジーなどの科学技術分野において、様々な数理モデルのコンピュータシミュレーションを通して、その理解を深め、新たな知見を得る試みが急速に進展している。このため、シミュレーションを可能とする計算モデルの構成が必要とされており、その過程は、新たな計算手法や数学アルゴリズム構築の機会でもある。
　コンピュータ実験科学研究部門は、非線形偏微分方程式に基づく数理モデリングや計算モデルの構成に関わる計算数学・数値解析、さらにその応用として大規模コンピュータシミュレーション技術に関する研究を進めている。
　現在の研究テーマは、ナノスケール半導体の数理モデルに関する研究、量子流体方程式の計算モデルに関する研究、ナノ領域FETのシミュレーション手法とその応用に関する研究、偏微分方程式の保存則を再現する数値計算法に関する研究、である。
　

４．2002年度研究業績

４．１　ナノスケール半導体の数理モデルに関する研究

　情報伝達の素過程は、極微構造内の電子輸送の数理と深いかかわりがある。現在、情報集積システムを構成する固体素子は、CMOSと呼ばれるシリコンFET（電界効果トランジスタ）である。シリコンCMOS素子の消費エネルギー評価を行い、10nm領域における消費エネルギーは80kTであり、5nm領域において20kTに到達することが予測された。
　このことは、シリコンCMOS素子は、微細化に伴いその素子構造を変化させる必要があるが、10nm領域までFET機能実現が可能であり、情報集積システムを構成する固体素子の主たる役割を担うことが示唆される。sub-10nm領域においては、カーボンナノチューブトランジスタなどのいわゆる“フロンティア”デバイスも含めて、集積システムを構成する上で最適なナノ領域素子を見出していくことが重要な課題として考えられる。
　ナノ領域の固体素子の電子輸送は、マクロ的現象とメゾスコーピック的現象を有し、ボルツマン輸送的観点と量子輸送的観点の両面から数理モデル化が追及されている。近年、ナノ領域FETの電子輸送の数理を明らかにするために、Wigner-Boltzmann方程式から量子流体方程式系の様々なモデルを階層的に導出する試みがなされている。Wigner-Boltzmann方程式の0次モーメント積分から質量保存式が、1次モーメント積分から運動量保存式がそれぞれ導き出される。運動量保存式に運動量緩和時間近似の項を付加し、ストレステンソル項をプランク定数の2次オーダーまでを評価することによって、密度勾配法から導出されたいわゆるDensity-gradient方程式と一致することを検証した。
　この量子ドリフト-拡散方程式は4階偏微分方程式であり、一般には、最大値原理が成立せず、変数の正値性を保証する必要がある。一般化された擬フェルミレベルを導入して、二つの2階偏微分方程式に分離してモデル化する方法が提案されている。このとき、どのような変数の組を選択するかは、実際の半導体素子構造における物理モデリング、特に、ヘテロ構造界面でのモデリング、や計算スキームの構築に密接に関係し、今回、変数の正値性を保証する新しい変数の組で数理モデルを導出した。
　

４．２　量子流体方程式の計算モデルに関する研究

　新たな変数の組によってモデル化された量子ドリフト-拡散方程式の有界領域での混合境界値問題に対し、各変数に対する一様有界性についてのアプリオリ評価を証明した。新しい変数の組でのモデル化では、この一様有界性の結果より直ちに変数の正値性が保証される利点がある。この結果をもとに、多次元差分スキームを構築中であり、その性能評価をおこなっている。

４．３　ナノ領域FETのシミュレーション手法とその応用に関する研究

　量子ドリフト-拡散モデルを用いて、MOS反転層内における電子の量子閉じ込めを伴った電子輸送シミュレーションを実行し、ゲートバイアス依存性、量子効果による閾値電圧シフト効果の電気特性を再現する結果が得られた。また、Poisson-Scrodinger方程式系からの計算結果の比較検討も行い、モデルの検証、差分スキームの性能評価も進めている。量子ドリフト-拡散モデルがナノスケールMOS設計モデルとして機能するためには、デバイス物理の整合性、数値安定性、新しいMOS構造への応用を今後調べていく必要がある。

４．４　偏微分方程式の保存則を再現する数値計算法に関する研究

　応用数理学、社会学、生命学等の様々な研究分野におけるこれまでの研究の結果、非線型性の本質的な重要性が認識されつつある。こうした中、コンピュータ実験科学部門では複雑な現象を記述する非線形高階偏微分方程式の非線型性を本質的にとらえたまま計算する数値計算法の研究を行っている。
　非線型偏微分方程式を数値的に計算しようとする場合は通常は(非)線形安定性解析に基づいて離散パラメータを制御する。しかし、パラメータ制御による手法が本質的に無効である場合も少なくない。
　そこでわれわれは非線型偏微分方程式の多くはエネルギー保存性や組成保存性などの保存則や散逸則を要請されるものが多いことに着目し，それらを厳密に満たすように計算手法を構成する方法論をとる。同様の方法論にEnergy method や TotalVolume、Symplectic スキームなどが知られているが、適用範囲は限られており、新しい方法論が常に必要とされている。そこで、偏微分方程式解に対する Lyapunov 関数を離散的に構成するアイディアに基づいて離散変分法というスキーム構成法を提案した。
　この研究は徐々に深まりつつあり、適用範囲は Hamilton 系を含むエネルギー保存系や爆発問題系、連立偏微分方程式系、複素問題等に広がっている。
　さらに、スペクトル法などのより一般化された離散化概念を用いることも可能であることも判明し、より抽象的な概念に結び付く可能性を示唆している。
　また、Cahn-Hilliard 方程式やEguchi-Oki-Matsumura方程式などのいくつかの方程式に対しては導出された差分スキームの安定性、解の一意存在性，収束性等を数学的な証明を与えた。
さらに、非線形性が多項式で表現されるような場合は time-multistage 化と呼ばれる手法により非線形性のオーダを下げられることに注目し、離散変分法と組み合わせることにより、安定かつ線型な差分スキームを構成できる可能性があることを見いだした。 Time-multistage 化は非常に強い数値不安定性を伴うため通常は利用できないが、離散変分法のもたらす安定化効果の方が支配的な差分スキームを構成できれば、安定性と線形性の両方が同時に実現できるのである。このアイディアに基づき、先にあげた Cahn-Hilliad 方程式や Eguchi-Oki-Matsumura 方程式に対して実際に線型かつ無条件安定な差分スキームを構成し、その性質を数学的に証明することにも成功した。
以上の結果はこの手法の有効性を具体的に示すものであり、これからの研究が待たれる。


５．社会貢献に関する業績

５．１　研究面における社会貢献

5.1.1学会活動
5.1.2学会における招待講演・パネル
降旗 大介, Conservation or Dissipation Property Discretization for Nonlinear PDE, 日本数学会秋季総合分科会, 2002年9月.

５．２　研究プロジェクト活動

現在、以下の研究プロジェクトに参画している。
(1) 日本学術振興会・日韓科学協力事業　自己相互作用粒子系の数学解析と数理　分担
（以上、小田中）

2002年度研究発表論文一覧

学会論文誌
(1)T. Matsuo, M. Sugihara, D. Furihata and M. Mori, Spatially accurate conservative or dissipative finite difference schemes derived by the discrete variational method, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, Vol.19, No.3, pp.311-330, October, 2002.

(2)D. Furihata and T. Matsuo, A Stable, Convergent, Conservative and Linear Finite Difference Scheme for the Cahn-Hilliard Equation, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, Vol.20, No.1, pp.65-85, February, 2003.

(3)T.Matsuda, M.Fukuda, T.Ohzone, E.Kameda, S.Odanaka, K.Yamashita, N.Koike, and K.Tatsuuma, “Anew test structure for precise location measurement of hot-carrier-induced photoemission peak in subquater-micron MOSFETs”, IEICE Transactions on Electronics, Vol.E85-C, No.5, pp.1125-1133, May 2002.

(4)H.J. Mattausch, M.Suetake, D.Kitamaru, M.Miura-Mattausch, S.Kumashiro, N.Shigyo, S.Odanaka, “Simple nondestructive extraction of the vertical channel-impurity profile of small-size metal-oxide-semiconductor field-effect transistors”, Applied Physics Letters, 80(16), pp.2994-2996, April 2002.

国際会議会議録
(1)S.Odanaka,　“Numerical approximation of the stationary quantum drift-diffusion model for multi-dimensional semiconductor devices”, Workshop on Nonlinear Problems in Gauge Theory and Fluid Dynamics, Seoul December, 2002.

(2)T.Matsuda, T.Ohzone, S.Odanaka, K.Yamashita, N.Koike, and K.Tatsuuma, “A test structure for spectrum analysis of hot-carrier-induced photoemission from subquater-micron CMOSFETs”, Proceedings of ICMTS, April 2002.

口頭発表（国内研究会など）
(1) 小田中紳二，“ナノ領域FETにおける量子流体の数理”，第52回理論応用力学講演会，2003年1月.

(2) 小田中紳二，“量子ドリフト-拡散モデルによるMOS輸送シミュレーション”, 第50回応用物理学関連連合講演会，2003年3月.

(3) 小田中紳二，“Numerical approximation of the stationary quantum drift-diffusion model”, 研究集会、自己相互作用粒子系の数学解析と数理，2002年11月.

(4) D. Furihata, “Finite Difference Schemes for PDEs That Inherit Energy Conservation or Dissipation Property”, The 6th China-Japan Joint Seminar on Numerical Mathematics, Tsukuba, JAPAN, August, 2002.

(5) 降旗 大介, “Conservation or Dissipation Property Discretization for Nonlinear PDE”, 日本数学会秋季総合分科会, 2002年9月．

解説・その他
(1) 小田中紳二，“ナノスケール半導体における電子輸送の数理とシミュレーション設計への応用”, pp.85-88, 阪大ナノサイエンスワールド，2002.

(2) 小田中紳二，“2002年半導体のプロセス・デバイスのシミュレーションに関する国際会議(SISPAD2002)報告”，応用物理学会誌，第71巻，第12号，pp.153，2002.

2002年度特別研究報告・修士論文・博士論文

卒業研究報告
(1) 植田健太, “連立一次方程式の解法について”, 大阪大学理学部数学科数学研究ゼミ報告, February, 2002.

(2) 大坂隆幸, “高速フーリエ変換の基本理論と応用実験”, 大阪大学理学部数学科数学研究ゼミ報告, February, 2002.

(3) 干場智志, “ニューラルネットワークの暗号への応用”, 大阪大学理学部数学科数学研究ゼミ報告, February, 2002.

(4) 山口訓央, “確率微分方程式の数値的解法とその誤差”, 大阪大学理学部数学科数学研究ゼミ報告, February, 2002.